(OSEC) O número de combinações simples de 7 elementos tomados 3 a 3 é:
resposta: alternativa E
Resolução:
$\,C_{n,k}\,={\Large\binom{n}{k}}\,=\,\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\,=\,$$\,=\dfrac{7!}{4!3!}\,=\,\dfrac{5\centerdot 6\centerdot 7}{6}\,=\,35\,$
×(PUC) Tomam-se dez pontos sobre uma circunferência. Quantos triângulos podemos contruir com vértices nesses pontos?
e)
$\,\frac{\;10!\;}{3}\,$
O valor
de 5! é:
O valor de $\phantom{X}\dfrac{\;5!\;}{\;3!\;}\phantom{X}$ é:
e)
$\,\frac{\;5\;}{\;3\;}\,$
resposta: (A)
$\require{cancel}$ Resolução:
$\,\dfrac{\;5!\;}{\;3!\;}\;=\;\dfrac{\;5\,\centerdot\,4\,\centerdot\,\cancel{3!}\;}{\cancel{3!}}\;=\;20\,$
×(FEI) Simplificar as expressões:
a)
$\phantom{X}\dfrac{\;7!\;9!\;}{\;6!\;8!\;}\phantom{X}$
b)
$\phantom{X}\dfrac{\;(2n\,+\,2)!\;}{(2n)!}\phantom{X}$
resposta:
a) 63 b) $\,4n^2\,+\,6n\,+\,2\,$×(OSEC) Para qualquer número
natural n a expressão $\phantom{X}\dfrac{\;(n\,+\,1)!\;}{n!}\phantom{X}$ vale
Simplificando a expressão $\phantom{X}\dfrac{\;2(n\,+\,1)!\,+\,n(n\,+\,1)!\;}{(n\,+\,2)!}\phantom{X}$ com $\,n\,\in\,\mathbb{N}\,$, obtemos:
b)
$\,\dfrac{\;n\,+\,1\;}{n}\,$
Resolver, em $\,\mathbb{N}\,$, a equação $\phantom{X}\dfrac{\;(n\,+\,4)!\;}{\;(n\,+\,3)!\;}\;=\;7\phantom{X}$
Resolver, em $\,\mathbb{N}\,$, a equação $\phantom{X}\dfrac{\;n!\;}{\;(n\,-\,2)!\;}\;=\;30\phantom{X}$
Provar que $\phantom{X}(n\,+\,1)!\,-\,n!\;=\;n\,\centerdot\,n!\phantom{X}$, $\,\forall\,n\,\in\,\mathbb{N}\,$
resposta: $\,(n\,+\,1)!\,-\,n!\;=\;n!\,[(n\,+\,1)\,-\,1]\,=$ $\,n!(n\,+\,1\,-\,1)\,=\,n!\centerdot n\,$
×O valor de $\phantom{X}5\centerdot 5!\;+\;6\centerdot 6!\;+\;7\centerdot 7!\;+\;...\;+\;19\centerdot 19!\phantom{X}$é:
resposta: (A)
Resolução:
Veja que:
$\require{cancel}$$\phantom{X}5\centerdot 5!\;=\;(6 - 1)\centerdot 5!\;=$ $\;6\centerdot 5!\,-\,5!\;=\;(5\,+\,1)!\,-\,5!\phantom{X}$
então:
$\phantom{X}(5\,+\,1)!\,-\,5!\,+\,(6\,+\,1)!\,-\,6!\;...\;(19\,+\,1)!\,-\,19!\;=\;$$\;\cancel{6!}\,-\,5!\,+\,\cancel{7!}\,-\,\cancel{6!}\;...\;+\,20!\,-\,\cancel{19!}\;=\,20!\,-\,5!\phantom{X}$
×(OSEC) Simplificando-se $\phantom{X}\dfrac{\;[(n\,-\,1)!]^2\,+\,(n\,-\,1)!n!\,+\,(n\,-\,1)!n!\,+\,(n!)^2\;}{(n\,-\,1)!\,+\,n!\,+\,(n\,+\,1)!}\phantom{X}$ obtém-se:
b)
$\,(n\,+\,1)!\,\phantom{\dfrac{X}{X}}$
d)
$\,\dfrac{\;n!(n\,-\,1)!\;}{(n\,+\,1)!}\,$
e)
$\,\dfrac{\;(n\,-\,1)!\;}{(n\,+\,1)!}\,$
Calcular os seguintes números binomiais:
a)
$\phantom{X}\binom{4}{2}\;=\phantom{X}$
b)
$\phantom{X}\binom{4}{3}\;=\phantom{X}$
c)
$\phantom{X}\binom{10}{8}\;=\phantom{X}$
d)
$\phantom{X}\binom{6}{6}\;=\phantom{X}$
e)
$\phantom{X}\binom{0}{0}\;=\phantom{X}$
f)
$\phantom{X}\binom{7}{0}\;=\phantom{X}$
g)
$\phantom{X}\binom{2}{5}\;=\phantom{X}$
Resolver a equação $\phantom{X}\dbinom{x}{3}\centerdot 3!\;=\;24\centerdot \dbinom{x\,-\,2}{2}\;\ne\;0\phantom{X}$
Resolver a equação $\phantom{X}\dbinom{12}{2\,-\,x}\;=\;\dbinom{12}{2\,-\,3x}\;\ne\;0\phantom{X}$
(SANTA CASA) A equação $\phantom{X}\dfrac{\;\dbinom{k\,+\,1}{2}\;+\;\dbinom{k\,+\,1}{3}\;}{\dbinom{k\,+\,2}{5}}\;=\;1\phantom{X}$
b)
admite uma solução entre 1 e 5
c)
admite uma solução entre 5 e 12
d)
admite uma solução entre 12 e 20
e)
admite uma solução maior que 20
Completar as igualdades abaixo:
a)
$\,\dbinom{0}{0}\;=\;\dbinom{1}{0}\;=\;\dbinom{2}{0}\;=\;...\;=\;\dbinom{n}{0}\;=\;$
b)
$\,\dbinom{0}{0}\;=\;\dbinom{1}{1}\;=\;\dbinom{2}{2}\;=\;...\;=\;\dbinom{n}{n}\;=\;$
c)
$\,\dbinom{7}{3}\;+\;\dbinom{7}{4}\;=\;$
resposta:
a) 1 b) 1 c) $\,\dbinom{8}{4}\,=\,70\,$ (relação de Stifel: $\binom{n}{k}\,+\,\binom{n}{k+1}\,=\,\binom{n+1}{k+1}$)×